January 2025

An analytical solution to the time fractional Navier–Stokes equation based on the Katugampola derivative in Caputo sense by the generalized Shehu residual power series approach

Wannika. Sawangtong, Patcharee Dunnimit, Benchawan Wiwatanapataphee, Panumart Sawangtong

The Navier–Stokes equations, independently derived by Stokes and Navier, describe fluid motion and are widely applied in engineering and science. Their complexity necessitates numerical methods for solutions, and proving the existence of a global solution remains an open mathematical challenge. These equations are used in drag reduction, airfoil design, ocean current analysis, environmental studies, and medical devices. This study solves the nonlinear two-dimensional time fractional Navier–Stokes equation using the Generalized Shehu Residual Power Series (GSHRPS) approach, which integrates the Shehu transform and Residual Power Series method. The Katugampola derivative in the Caputo sense is employed. The analytical solution is expressed using the Mittag-Leffler function, and the parameters of fractional order 𝛽 and 𝛼 influence fluid velocity.

สมการ Navier–Stokes ซึ่งถูกพัฒนาโดย Stokes และ Navier อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล และถูกนำไปใช้กันอย่างแพร่หลายในวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ เนื่องจากมีความซับซ้อน จึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลขในการแก้ไข และการพิสูจน์การมีอยู่ของคำตอบทั่วไปยังคงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข สมการนี้ถูกนำไปใช้ในงานต่างๆ เช่น การลดแรงต้านของยานพาหนะ การออกแบบปีกเครื่องบิน การวิเคราะห์กระแสน้ำในมหาสมุทร การศึกษาสิ่งแวดล้อม และอุปกรณ์ทางการแพทย์ งานวิจัยนี้มุ่งเน้นไปที่การแก้สมการ Navier–Stokes แบบเศษส่วนเชิงเวลาในสองมิติที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยใช้วิธี Generalized Shehu Residual Power Series (GSHRPS) ซึ่งผสานรวมการแปลง Shehu และวิธี Residual Power Series อนุพันธ์ของ Katugampola ในเชิงของ Caputo ได้ถูกนำมาใช้ คำตอบเชิงวิเคราะห์อยู่รูปแบบของฟังก์ชัน Mittag-Leffler และพารามิเตอร์อันดับเศษส่วน 𝛽 และ 𝛼 มีอิทธิพลต่อความเร็วของการไหลของของไหล

Sept 2024, In: Partial Differential Equations in Applied Mathematics. https://doi.org/10.1016/j.padiff.2024.100890.