An Analysis of the Fractional-Order Option Pricing Problemvfor Two Assets by the Generalized Laplace Variational Iteration Approach

Sivaporn Ampun, Panumart Sawangtong, and Wannika Sawangtong

The Black–Scholes equation is a fundamental model in option pricing theory. This manuscript introduces a novel approach by formulating the classical Black–Scholes equation as a fractional-order equation using the generalized Riemann–Liouville derivative. The study presents an approximate analytic solution to this fractional-order equation using the generalized Laplace variational iteration method. Remarkably, it demonstrates that the solution to the classical Black–Scholes equation can be derived as a special case of this proposed solution. The method proves effective in finding approximate analytic solutions to fractional-order differential equations. The modified Black–Scholes equation includes two parameters, “alpha” and “rho,” defining the fractional derivative. Accurate estimation of these parameters is crucial for option pricing accuracy. The manuscript suggests utilizing genetic algorithms alongside actual option values to determine suitable parameter values. Once these parameters are known, option pricing can be calculated using the solution to the modified Black–Scholes equation. This innovative approach offers potential for improved accuracy in option pricing by incorporating fractional-order dynamics and optimizing parameter estimation through advanced algorithms.

ในทฤษฎีการกำหนดราคาออปชั่น สมการแบล็ค-โชลส์ (Black-Scholes) เป็นหนึ่งในโมเดลที่สำคัญที่สุด บทความนี้ได้พัฒนาสมการแบล็ค-โชลส์แบบดั้งเดิมให้เป็นสมการแบล็ค-โชลส์ลำดับเศษส่วน โดยอาศัยอนุพันธ์รีมันน์-ลิอูวิลล์ทั่วไป บทความนี้เสนอวิธีแก้โดยประมาณเชิงวิเคราะห์สำหรับสมการแบล็ค-โชลส์ลำดับเศษส่วน ผ่านวิธีการประมาณค่าแปรผันแลปลาซแบบทั่วไป (Generalized Laplace Variational Iteration Method) นอกจากนี้ ยังแสดงให้เห็นว่า วิธีแก้สำหรับสมการแบล็ค-โชลส์แบบดั้งเดิมนั้น สามารถได้มาเป็นกรณีพิเศษของวิธีแก้โดยประมาณเชิงวิเคราะห์ที่เสนอ  ซึ่งแสดงให้เห็นว่า วิธีการประมาณค่าแปรผันแลปลาซแบบทั่วไป เป็นหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการค้นหาวิธีแก้โดยประมาณเชิงวิเคราะห์ของสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับเศษส่วน

ข้อดีของสมการแบล็ค-โชลส์ที่ปรับปรุงใหม่คือ มีพารามิเตอร์สองตัวปรากฏอยู่ในนิยามของอนุพันธ์เศษส่วน นั่นคือ alpha และ rho หากเราสามารถประมาณค่าของทั้งสองปัจจัยนี้อย่างถูกต้อง ราคาออปชั่นที่ได้จากรูปแบบที่ปรับปรุงแล้วจะใกล้เคียงกับมูลค่าตลาดของราคาออปชั่น เราอาจใช้การคำนวณทางพันธุกรรมและมูลค่าจริงของออปชั่นเพื่อกำหนดค่าที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์สองตัวนี้ ราคาออปชั่นสามารถกำหนดได้โดยวิธีแก้ของสมการแบล็ค-โชลส์ที่ปรับปรุงใหม่ หลังจากทราบค่าที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์สองตัวนี้แล้ว