An Approximate Analytic Solution for the Multidimensional Fractional-Order Time and Space Burger Equation Based on Caputo-Katugampola Derivative

An Approximate Analytic Solution for the Multidimensional Fractional-Order Time and Space Burger Equation Based on Caputo-Katugampola Derivative

Wannika Sawangtong, Akpan N. Ikot, Panumart Sawangtong

The (n+1)-dimensional space and time fractional-order Burger equation with Caputo-Katugampola derivative is tackled using the generalized Laplace homotopy perturbation procedure (GLHPM) to derive an approximate analytic solution. The coefficients of this solution exhibit a recurrence relation akin to the Catalan numbers in number theory, allowing for its closed-form expression through insights from number theory. Numerical experiments affirm the precision of the GLHPM technique in approximating solutions. Notably, the orders α and ρ wield more significant influence on the solution compared to the order β. Furthermore, the Caputo-Katugampola derivative is simplified to the Caputo fractional derivative, leading to a closed-form solution for the (n+1)-dimensional space and time fractional-order Burger equation in the Caputo fractional derivative framework. This research sheds light on the efficacy of GLHPM in solving complex fractional-order equations and underscores the importance of understanding the impact of different derivative orders on the solutions. Additionally, it highlights the utility of reducing specialized derivative forms to more familiar ones for obtaining closed-form solutions, contributing to advancements in fractional calculus methodologies.

งานวิจัยนี้เกี่ยวกับการแก้ประมาณเชิงวิเคราะห์ของสมการเบอร์เกอร์มิติเชิงพื้นที่และเวลา (n+1)กับอนุพันธ์เศษส่วนแบบ Caputo-Katugampola โดยใช้เทคนิคที่เรียกว่า generalized Laplace homotopy perturbation procedure (GLHPM) ผลลัพธ์ที่ได้คือสัมประสิทธิ์ของคำตอบจะมีความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ คล้ายกับเลขคาตาลันในทฤษฎีจำนวน และสามารถหาคำตอบในรูปปิด (closed form) ได้โดยใช้ความรู้ด้านทฤษฎีจำนวน นอกจากนี้ บทความยังแสดงให้เห็นว่าเทคนิค GLHPM ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าจากการทดลองทางตัวเลข (Numerical Experiments) และอิทธิพลของอันดับ α และ ρ ต่อคำตอบนั้น ส่งผลมากกว่าอันดับ β สุดท้าย บทความสรุปโดยการแปลงอนุพันธ์ Caputo-Katugampola ให้เป็นอนุพันธ์ Caputo แบบดั้งเดิม ซึ่งทำให้ได้คำตอบในรูปปิดของสมการเบอร์เกอร์มิติเชิงพื้นที่และเวลา (n+1) กับอนุพันธ์ Caputo แบบดั้งเดิม