Applying the Generalized Laplace Residual Power Series Method to the Time-Fractional Multi-Asset Black-Scholes European Option Pricing Model

Applying the Generalized Laplace Residual Power Series Method to the Time-Fractional Multi-Asset Black-Scholes European Option Pricing Model

Nitithorn. Sukwong, Wannika Sawangtong, Thanin Sitthiwirattham, Panumart Sawangtong

It is well established that the Black-Scholes model plays a foundational role in analyzing financial markets, particularly in the pricing of options. The classical Black-Scholes equation has an explicit analytical solution, commonly referred to as the Black-Scholes formula. However, to more accurately capture real-world market behaviors, mathematicians have extended the original model into various fractional forms, resulting in the fractional-order Black-Scholes equations. Unfortunately, in many cases, these fractional equations do not admit closed-form solutions.

This article presents an analytical method for solving the fractional multi-asset Black-Scholes equation, specifically employing the left-sided Caputo-type Katugampola fractional derivative. The proposed methodology—termed the t^ρ/ρ -Laplace residual power series approach—combines the residual power series method with the t^ρ/ρ -Laplace transform to derive analytical solutions to the fractional model. Numerical analyses confirm the high precision and computational efficiency of this technique, establishing it as a powerful tool for solving fractional-order differential equations. A notable advantage of the modified model is its incorporation of two tunable parameters,  ρ and α, within the fractional derivative. By accurately estimating these parameters—potentially through optimization techniques such as genetic algorithms or machine learning—the resulting option prices from the fractional model can closely align with observed market data. Therefore, the pricing of options in this enhanced framework depends critically on determining suitable values for ρ and α, enabling more realistic and flexible modeling of market behavior.

เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางว่าแบบจำลอง Black-Scholes มีบทบาทสำคัญในฐานะรากฐานของการวิเคราะห์ตลาดการเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการกำหนดราคาออปชัน สมการ Black-Scholes แบบดั้งเดิมมีคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่ชัดเจน ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “Black-Scholes Formula” เพื่อสะท้อนพฤติกรรมของตลาดจริงได้อย่างแม่นยำมากขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้ขยายแบบจำลองดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนต่าง ๆ ซึ่งนำไปสู่การพัฒนาเป็นสมการ Black-Scholes เชิงลำดับเศษส่วน (fractional-order Black-Scholes equations) อย่างไรก็ตาม สมการเศษส่วนเหล่านี้ในหลายกรณีไม่สามารถหาคำตอบในรูปแบบปิดได้

บทความนี้นำเสนอวิธีเชิงวิเคราะห์ในการแก้สมการ Black-Scholes เชิงเศษส่วนสำหรับหลายสินทรัพย์ โดยใช้อนุพันธ์เศษส่วนแบบ Katugampola ด้านซ้าย ในความหมายของ Caputo วิธีที่นำเสนอเเรียกว่า t^ρ/ρ -Laplace residual power series approach เป็นการผสานวิธี residual power series เข้ากับการแปลง Laplace แบบ t^ρ/ρ เพื่อหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ของแบบจำลองเชิงเศษส่วนดังกล่าว จากการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธีนี้แสดงให้เห็นถึงความแม่นยำสูงและประสิทธิภาพในการคำนวณอย่างดีเยี่ยม ทำให้ได้รับการยอมรับว่าเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับเศษส่วน หนึ่งในข้อดีที่สำคัญของแบบจำลองที่ได้รับการปรับปรุงนี้คือมีพารามิเตอร์ที่ปรับได้สองตัว คือ ρ  และ α ไว้ในอนุพันธ์เชิงเศษส่วน โดยการประมาณค่าพารามิเตอร์ทั้งสองนี้อย่างแม่นยำ ซึ่งอาจทำได้ผ่านเทคนิคการปรับค่าที่เหมาะสม เช่น ขั้นตอนวิธีเชิงพันธุกรรม (genetic algorithm) หรือ การเรียนรู้ของเครื่อง (machine learning) จะทำให้ราคาของออปชันที่ได้จากแบบจำลองเชิงเศษส่วนมีความสอดคล้องกับข้อมูลราคาจริงในตลาดมากยิ่งขึ้น ดังนั้น การกำหนดราคาของออปชันภายใต้กรอบงานที่ได้รับการปรับปรุงนี้ จึงขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าที่เหมาะสมของ ρ  และ α ซึ่งเป็นกุญแจสำคัญต่อการจำลองพฤติกรรมของตลาดอย่างสมจริง